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人文科普：端午别只知道吃，来看看粽子里面的几何学

来源：科普中国-科普融合创作与传播

发布时间：2020-11-11

浏览次数：2624

　　粽子是端午节期间不可缺少的传统美食，中国的粽子不仅馅料丰富多样，形状也是五花八门，有竹筒形、长方形、圆锥形、金字塔形、三角形等，但是最常见的还是“四角粽子”，也就是四面体形状的粽子，接下来我们就从几何学角度，来解析一下粽子中的门道。
　　图片8(gai)

　　四面体在现实生活中不太常见，仅仅听名字也难以想象它的形状，其实它还有个更容易被接受的名字——三棱锥。所有三棱锥都有六条棱，四个角、四个面，每个面都是三角形，每个三角形面都与一个角相对，底面是正三角形，其他三个面相等（一定是等腰三角形）的三棱锥，被称为正三棱锥，如果底面和其他三个面完全相等，此时四个面一定都是正三角形，那么这就叫做正四面体。
　　粽子做成正四面体有什么好处？
　　以长方体、立方体为代表的平行六面体，其实切下一个角都可以构成一个四面体。但是为什么大多数人都不将粽子做成长方体，而是做成有些奇怪的四面体呢？首先，不同于平行六面体的不稳定性（例如立方体框架可以左右摇晃），四面体的性质非常稳定，只要确定六条棱的长度，就能拼出一个唯一的四面体。因此四面体的粽子更不容易变形。
　　四角粽子虽然不一定是正四面体，但通常四个面也是相同的等腰三角形，将这个四面体的表面积拆开，可以得到两个相等的菱形，这就意味着用两片相似的细长叶子，正好可以将其包裹住，做到了物尽其用。
　　正四面体还有个特点，就是拥有四条三重旋转对称轴，六个对称面，每两条对边都是相互垂直的，这就表明，不管在容器中怎样摆盘，粽子们看上去都是整整齐齐的平躺着，不会给人横躺侧卧的感觉。
　　正三棱锥还有一个重心，同时也是它的外接球体和内切球体的球心，就在顶点与底面重心的连线（高）上，将这条高分为3：1，也就是距离地面四分之一处。所以说，如果用牙签或筷子将粽子扎起来，找准这个点，就最能保证受力均匀，不容易掉下或者碎裂。
　　
　　

　　图片来源：image.so.com
　　正四面体的体积——一场穿越时间和空间的考证
　　粽子从外观上看，不太容易看出它的体积。虽然四面体的体积和圆锥形一样，是三分之一的底面积乘以高，但底面积和高也是不容易拿着直尺就测出来的。
　　阿基米德的排水法当然可以帮助快速地测出体积，但是要准备的量杯也不是太常见，而且粽子湿了之后，剥皮仿佛会更麻烦一些。这时候用到一个特殊的公式，只要知道六条棱的长度，就能知道四面体的体积。
　　这个公式名字叫海伦-秦九韶公式。由古希腊和古中国两位数学家分别发现。第一位发现者是海伦二世，又译为海龙、希伦、希罗等，是古希腊西西里岛（现属于意大利）上的锡拉库萨（又译为叙拉古）城邦国的国王，同时也是一位数学家、测量学家和机械工程师。他在著作《度量论》中就提到了用三角形的三条边求其面积的公式。这本书曾经一度失传，直到1896年，有人在君士坦丁堡发现了它的手抄本，并在1903年出版。但是五年后的1908年，就有人提出，这条公式其实是阿基米德发现的，只是假托海伦国王的名字，不过还没有证实。
　　不管在古希腊是哪位发现了这个公式，在中国的南宋时期，数学家秦九韶在《数书九章》提出了“三斜求积术”，主要用来测量三角形的土地面积，和海伦公式基本相同，只是证明方法不太一样。这个公式是S= （p为周长的一半）。
　　

　　图片来源：image.so.com
　　但是，海伦-秦九韶的公式都是用来算面积的，要想算体积还需要进一步加工。但是算出了底面积之后算出高也并不难，假设六条棱分别是a、b、c、d、e、f，经过推演，最后可以得出如下公式：
　　V=1/12
　　D=b^2+c^2-d^2
　　E=a^2+c^2-e^2
　　F=a^2+b^2-f^2
　　小小一个四面体的粽子，竟然有这么多几何学知识在其中，喜欢数学的朋友们不妨多观察一下，会有更多有趣的发现。
　　（本文中标明来源的图片均已获得授权）
　　出品：科普中国
　　制作：《知识就是力量》微平台朱广思
　　监制：中国科学院计算机网络信息中心

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