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人文科普：费马大定理这三百年，鬼知道它究竟经历了什么

来源：科普中国-科普融合创作与传播

发布时间：2020-11-20

浏览次数：2396

　　在通往真理的道路上，到处都布满陷阱。
　　美国作家索洛曾说：美国铁路的每一根枕木下面都横卧着一具爱尔兰工人的尸首。正是早期无数人的血汗铸就了今日的文明成就。同样，在征服费马大定理三百多年的历程里，也有众多人类最耀眼的科学明星一同铺就通往明天的铁路。
　　费马本人对大定理虽然一笔带过，却也留下了自己对这个问题的初步思考。他在另外一篇文章里，简单叙述了如何证明当“n=4”的时候，方程“(x^4)+(y^4)=(z^4)”不存在正整数解。不过费马对大定理的研究也止步于此，他并没有给出对其他自然数n的相关证明。在听闻费马的评注之后，德国数学家莱布尼茨（Leibniz）也独立证明了“n=4”的情形,证明的手法与费马如出一辙。
　　在费马大定理提出后，18世纪最伟大的数学家之一欧拉（Euler）成为取得重大进展的第一人。1770年，欧拉证明了当“n=3”的时候，费马大定理成立。　　
　　此后，人们对费马大定理的证明进入了漫长的黑暗期。到了19世纪初，费马大定理已经成为数论中最著名的问题。就在人们一筹莫展的时候，一位年轻的法国女数学家索菲·热尔曼（Sophie Germain）带来了激动人心的突破。她对一类被后人称为热尔曼素数的自然数，证明了方程“大概”不存在整数解。
　　

　　数学家索菲·热尔曼（图片来源：百度图片）
　　    1825年，德国数学家狄利克雷（Dirichlet）和法国数学家勒让德（Legendre）使用热尔曼的方法成功地证明了大定理对“n=5”的时候成立。
　　    14年后的1839年，另一位法国数学家拉梅（Lame）在热尔曼的工作进一步优化的基础上，一举证明了“n=7”的情形。
　　    热尔曼的工作似乎为费马大定理指出了一条光明的大道。法国科学院于是设立了一系列的奖项，以奖励最终能证明费马大定理的数学家。法国科学家柯西（Cauchy）和拉梅都参与到这场竞争中。他们曾宣称已经证明了费马大定理，然而事实上，两人都以失败告终。　　
　　    19世纪的星空注定不是最耀眼的时刻，真理仍然在黑暗中匍匐前行。这一百年间，费马大定理最为关键性的贡献来自于德国数学家库默尔（Kummer）。他创立了理想数理论，为代数数论奠定了基础。库默尔证明当n＜100时除37、59、67三数外费马大定理均成立，研究数论的技术在库默尔这里到达了巅峰。然而，对类似费马大定理这样的难题的证明来说，万里长征，才仅仅走了一小半。
　　

　　数学家库默尔（图片来源：百度图片）
　　库默尔的工作给数学家们带来了前所未有的希望和迷茫。一方面，费马大定理证明因为库默尔发明的工具和理念而取得惊人的进展；而另一方面，库默尔的手法又让证明大定理的希望变得更加渺茫。沿着库默尔开创的道路走下去，既看不到终点，也看不清方向，大定理的证明还被笼罩在一片迷雾之中。曙光，还将留给20世纪的晨曦。
　　
　　到了20世纪初，费马大定理虽然在数学家心目中占据着独特的位置，却已经渐渐失去了光泽。解决这个古老问题的尝试被私下嘲讽为炼金术一般，只有疯子和偏执狂才会去做这样荒谬的梦。此时，只有一剂强心针才能挽救人们对费马大定理的信心。
　　
　　

　　实业家沃尔夫斯凯尔（图片来源：百度图片）
　　    1908年，对大定理的研究因为达姆斯塔特的一位德国实业家沃尔夫斯凯尔（Wolfskehl）而得到新生。这更为费马大定理增添了不可思议的传奇色彩。
　　沃尔夫斯凯尔在大学里学过数学，且对数论情有独钟。毕业后，他一方面继续家族的经商，一方面仍与职业数学家保持着联系。
　　    不久，沃尔夫斯凯尔在向一位漂亮的年轻女性求爱时遭到了拒绝。自尊心受到强烈挫伤的他在失望下决定自杀。沃尔夫斯凯尔选好了自杀的日子，写下了遗嘱，并在自杀的那一天早早安排好了当天所有事情。眼看着自杀的吉时良辰还没到，为了消磨剩下的几个小时，他到图书馆开始翻阅数学书籍。
　　命运随即开启了一系列奇特的链式反应。沃尔夫斯凯尔看到了库默尔的经典工作，很快他就被库默尔的思想和计算吸引住了。在他一行行开始验算的时候，突然发现了库默尔证明的一个漏洞！
　　他仔细审阅了这个证明，开始思考关键性的补救工作。幸运的是，工作到黎明时分的他终于解决了库默尔的问题，而此时距离他自杀的时间已经过去了。他对自己能发现并改正那个时代最伟大的数论学家库默尔的工作而感到无比骄傲，而这个工作和费马大定理也密切相关。幸福的情绪很快弥漫在他脑海里，终于让他放弃了自杀的念头。
　　沃尔夫斯凯尔撕毁了自己的遗嘱。1908年，在他去世之前，新遗嘱问世。这是一个让所有人瞠目结舌的遗嘱。沃尔夫斯凯尔为了感谢这个挽救过他生命的复杂难题，将他大部分的遗产设立为一个大奖，以此奖励第一个证明费马大定理的人。
　　    沃尔夫斯凯尔的巨额奖金再一次将费马大定理推上了风口浪尖。大定理再次点燃了众人的热情，很快吸引了众多的参与者。
　　    与此同时，20世纪数学的发展大大出乎人们的意料。1931年，哥德尔（Godel）首先证明了令人惊异的不完备定理。该定理指出存在一些问题，永远无法被证伪或者证实。这样的问题被哥德尔称为“不可判定”的问题。然而，哥德尔的证明仅仅是理论预言这类诡异的问题，当时人们关注的重大问题中还没有出现这样的异类。到了1963年，美国数学家科恩（Cohen）则首先证明了“连续统假设”的不可判定性。
　　哥德尔的工作，加上科恩给出的具体的不可判定的问题，让人们对“费马大定理”产生了深深的恐惧。如果费马大定理是不可判定的，那么数个世纪以来，数学家花费无数的时间却是在寻找一个根本不存在的证明。其结果可能是，费马大定理也许是对的，但就是无法证明它。
　　

　　电影《模仿游戏》中的阿兰·图灵与图灵机（图片来源：豆瓣网）
　　尽管如此，在研究费马大定理的过程中，数学家们还是创造了许多新的理论和方法，特别是计算机的诞生也为费马大定理的证明提供另一种思路。1955年，n＜4002的情形已经得到证实。此后，随着计算机能力的加强，n的值也被迅速推进。1976年德国数学家瓦格斯塔夫证明n＜125000，1985年美国数学家罗瑟证明n＜41000000。然而，从有限到无穷，仍然是无法跨越的险峰天堑，人们在缓慢而艰难地推进着定理的证明。
　　三百年来，在探索大定理出路的小径上，已经留下无数英雄孤独的身影。大定理的每一小步，都是数学史上浓重的一笔。没有人知道，这条小路会将人们带向何方。　　
　　（本文中标明来源的图片均已获得授权）　　
　　出品：科普中国
　　制作：黄书煜
　　监制：中国科学院计算机网络信息中心

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