不得不承认，微积分是老胡遇到的最好的东西。它是一个工具，教我抽象的想法，并向我展示了一个简单的方法，使我的生活中的问题更容易管理。正是微积分使肯尼迪所说的“我们选择登月”成为可能。让阿姆斯特朗说出：“一个人的一小步就是人类的一大步。”，让菲利克斯·鲍姆加特纳能够说：“我现在要回家了！”

当卢修斯·福克斯为蝙蝠侠设计蝙蝠衣时，也是在计算。正是这一数学分支使得人们喜爱的动画像人一样行动；正是这种计算让母亲们知道了婴儿的性别或健康状况；正是微积分使我们能够在微波炉里加热东西；它帮助人们在高德地图上到达目的地。爱因斯坦把他的方程式写在笔记本上以改变世界，这就是微积分。它把数学、科学和社会学结合起来，帮助创造了我们生活的现代世界。这就是为什么伏尔泰把微积分称为“精确计算一种无法想象其存在的事物的艺术”。

• 上图：爱因斯坦1936年发表的科学论文的附言。资料来源：匹兹堡大学。下图：伏尔泰的《关于英国的信件》，第152页

根据伏尔泰的观点：

“这个荒谬的、陈腐的问题在一次著名的集会上引起了骚动，这是不久以前的事了。谁是最伟大的人呢，卡萨尔或亚历山大，塔默兰或克伦威尔吗？有人说那一定是艾萨克·牛顿爵士。这个人当然是对的。”

所有我们想用数学术语来理解的东西，我们都是通过微积分来理解的。不幸的是，大学里的老师让微积分看起来既困难又乏味。对于许多大学一年级的学生来说，微积分是一个让他们充分享受生活的障碍。一开始，就好像有人买了一辆有引擎问题的新车。然而，一旦你开始修复它，它就会变得很容易使用。

微积分是一种使不可见的东西变得可见的工具。它是好奇心和解决方案之间的联系。换句话说，它是回答问题和揭示科学奥秘的最佳工具。当数学家们致力于一个项目去建立一些新的东西时，他们也会受到数学的启发。此外，将现代数学思想应用于现实世界可能需要数年时间。然而，微积分是数学中少有的源于物理学的领域之一。

例如，如果你把一块磁铁放在你的桌子上，把填满磁铁的铁摇一摇，你会注意到，填满的东西会开始沿着不同的线排列，在磁铁周围形成完美的图案。你还会看到磁场向各个方向延伸。今天，我们知道这种科学美是磁场的结果。

• 铁屑在纸上。下面有一块磁铁。

然而，大约200年前，迈克尔·法拉第并不知道这一点。他只是凭直觉接近这个想法，并相信由于铁屑产生的运动，磁铁周围应该有一种看不见的力量。代数、英语或其他语言不足以解释或证明他关于磁场的激动人心的想法；因此，法拉第需要使用不同的方法，如数学。虽然他是一位优秀的物理学家，但他的数学知识不足以描述他的思想。此外，他对将要看到的东西一点也不知道。

在这段时间里，研究磁场的物理学家越来越多。苏格兰物理学家詹姆斯·克拉克·麦克斯韦就是其中之一。他决定走另一条路，用微积分来改进法拉第的磁场研究。即便如此，麦克斯韦是如何用微积分来解释一些与物理学有关的东西的呢？首先，他把所有关于磁场的知识转化成数学方程式。然后，麦克斯韦开始使用微分学并得到了新的方程。他最初得到了20个方程。最后，他把它们结合起来，成功了！

麦克斯韦揭示了磁力的奥秘！他使用的语言只是微积分，这是他唯一的声音。

• 上图 ：迈克尔·法拉第，1861 |下图：詹姆斯·麦克斯韦传记物理学家(1831-1879)

• 詹姆斯·克拉克·麦克斯韦，《伦敦皇家学会哲学会刊》，1865年1月1日出版。

微积分把好奇的人召集起来，告诉他们：“如果你想了解宇宙，就利用我吧！”不久之后，尼古拉·特斯拉跟随麦克斯韦的脚步，用麦克斯韦方程做出了第一台收音机。爱德华·布兰利发明了第一个真正的无线电波探测器——相干器。马可尼在几百英里外发送了一条无线信息。

仍然有人认为是马可尼发明了第一台收音机。然而，美国最高法院裁定马可尼的无线电专利无效，并在特斯拉死后6个月，即1943年6月21日，将无线电牌照授予特斯拉。

• 尼古拉·特斯拉(1856 - 1943)

后来，艾伦·图灵破解了德国的密码，从而把二战缩短了2到4年，在这期间他拯救了数百万人的生命。微积分的其他用途可以从发明电视的菲罗·范斯沃斯身上看到。他使20亿人得以观看1994年7月17日意大利对巴西的世界杯决赛。他让我有机会观看了1986年世界杯半决赛马拉多纳对阵英格兰打进的“世纪进球”。

• “ 世纪进球”，其在马拉多纳1986年世界杯半决赛对阵英格兰

• 罗伯特·巴乔在1994年世界杯决赛中罚失点球的精彩画面。

无论如何，我需要回到微积分。今天，Loon公司正在设计气球，为世界各地的人们带来免费的无线技术。所有这些发现和发明一直在告诉我们关于宇宙的一些独特的东西。顺便说一句，我并不是说微积分让罗伯特·巴乔错过了让巴西成为1994年世界杯冠军的点球。微积分让无形变得有形。否则，我怎么能见证那些难忘的时刻呢?

在费曼、麦克斯韦、特斯拉和Loon的例子中，你可能会注意到聪明人对变化感兴趣。要么他们想要理解它，要么他们想要追求它。为了实现他们的目标或梦想，这些美丽的头脑都使用了微积分。我们可以说，微积分关注的是事物随时间的变化。数学本身创造变化。

数学变化的概念出现于5000年前。古希腊哲学家对事物变化的概念思考得非常深刻。例如，古希腊哲学家芝诺(Zeno)是第一个提出瞬时速度概念的人。我们可能听过他的著名的芝诺悖论——阿基里斯和乌龟之间的赛跑——但是，他的阿罗悖论可能比其他的更重要，因为它是微积分的入门。芝诺说飞行中的箭总是处于静止状态。你可能会问自己:“移动的箭头怎么可能不移动呢?”“然而，如果我们在那个特定的时刻拍下太空箭的快照，它必须是静止的。由于时间是许多实例的集合，我们可以说箭从不移动，因此变得自相矛盾，因为箭是移动的。

在芝诺之后，第一个研究微积分的人是柏拉图的学生欧多克索斯。在此期间，几乎每个人都能计算正方形、长方形和三角形等规则形状的面积。他们负责发展我们对形状及其特征的理解。然而，现在是革命的时候了！他们需要计算一个曲面的面积，比如一个圆，但是这对他们来说是相当困难的。圆不可以画线，然后分成三角形。相反，他们必须找到更复杂的东西。我们的历史资料显示，欧多克索斯使用了一种穷竭法，这是一种精确的计算方法。他发现一个圆锥体的体积是相应圆柱体积的三分之一。

穷竭法是一种求形状面积的方法，其方法是在一个形状内嵌入一系列多边形，这些多边形的面积收敛于包含该形状的面积。——维基百科

欧多克索斯之后，阿基米德接过了微积分的旗帜。阿基米德痴迷于数学，常常忘记吃饭。此外，当他死于罗马士兵之手时，他告诉罗马士兵不要打扰他，因为他正在沙滩上画一个圆圈。甚至他的墓碑上也刻着一个球体的图形，球体被一个圆柱体包围着，圆柱体的容积比为2:3。当伽利略提到阿基米德时，他总是说:“超越人类的阿基米德，独一无二的阿基米德是神圣的阿基米德。”

• 阿基米德，由何塞·德里贝拉绘画，1630 | 阿基米德之死，1815年

两千两百年前，阿基米德的痴迷于曲线。他找到了一种计算曲面物体面积和体积的方法。他把笔记抄在一张纸莎草纸上，然后把它放在一张羊皮纸上。在他的笔记被转移之后，发生了一件非常有趣的事情。不知怎么的，700年前，一个和尚需要纸把他的祈祷写在什么东西上，然后随便在书架上选一本书。不幸的是，他手里拿着阿基米德的笔记，像用自己的笔记一样使用这本书。然而，在2000年之后，数学家发现这本书决定继续研究。这导致了阿基米德方法“方法”的面世。

• 阿基米德重写本| PBS里面

像任何二维形状一样，圆也有面积。阿基米德通过发明一种叫做“启发式”的数学方法，来得出一个圆的面积的结论，这种方法可以加速得到一个满意解的过程。虽然启发式方法不能完美地从数学上证明某件事，但它是实用的，足以总结他的工作。阿基米德还进一步发展欧多克索斯的“穷竭法”，以计算抛物线下的面积，球的表面积和体积，或证明圆的面积等于πr^2。

阿基米德求圆面积的第一个方法是如此简单，但它只能来自天才的头脑！只有有天赋的人才能在任何情况下找到简单的方法。就像约翰·克鲁伊夫说的那样：“足球很简单，但很难踢简单的足球。”不管怎样，阿基米德将正多边形内嵌在一个圆内，直到正多边形有如此多的边，以至于它们实际上变成了圆本身。这样，多边形的面积就越来越接近圆的准确面积。然而，多边形需要有无数条边才能有一个与圆相同的面积。今天，我们说在无穷大的极限下，多边形的面积等于圆的面积，其中n代表多边形的边数。然而，在这一时期，希腊人并没有完全掌握极限的概念。

阿基米德用同样的方法求抛物线段的面积。他把曲线形状变成了三角形的组合。由于这种方法，斯蒂芬·斯特罗加茨教授在他的最后一本书《无限的力量：微积分如何揭示宇宙的秘密》(第37页)中称阿基米德是第一位像毕加索那样的立体派艺术家。

• 《无限的力量：微积分的故事——宇宙的语言》作者:斯蒂文·斯特罗加茨

• 巴勃罗·毕加索《公牛》1945年

首先，阿基米德把最大的三角形放在曲线下。然后，他把两个较小的三角形放在左边和右边。当曲线下有一点空间时，他试着放更多的小三角形。他能够将曲面面积转换成三角形的组合，因为他知道如何找到该形状的面积。这种方法使他认识到一个有趣的事实，抛物线段的面积与第一个大三角形的面积之比是4/3。4/3的比例非同寻常，因为在音乐中，它被称为“完美的四分之一”。

用三角形做抛物线段是一个独特的想法，因为它是微积分无形存在的一个非凡例子。当我们去电影院看电影的时候，我们看到的人物就像真人一样，但实际上，他们是由数百万个规则多边形组成的。我们只是没有注意到这里的微积分。我们可以用三角形来表示任何光滑的表面，这已经成为阿基米德的想法，这是微积分(微分学)背后的另一种优秀表现，通过直线来近似弯曲的物体。

阿基米德的第二个非凡的方法是找到一个圆的面积。在开始的时候，找到一个圆的面积对他来说是件头疼的事。他需要找到不同的方法来解决这个问题。幸运的是，在古代，当人们处理任何类型的问题时，他们试图通过将它们分解成不同的部分，以使其变得更小，以便以后单独处理它们。因此，他们的问题将比原来的问题容易处理得多。然后，当他们解决了所有小块的问题，他们会把答案重新组合在一起，形成一个整体。这种数学方法是人类历史上最令人难以置信的布局之一。

为了在我们的脑海中描绘阿基米德的方法，先画一个半径为r的圆，然后把它切成四块。现在我们有四个相等的四分之一。顺便说一下，我们的圆的周长将2πr。如果像下面的图一样重新排列四分之一，我们将得到一个新的形状。此外，底部的扇形边缘的长度将为圆周的一半，即πr（π乘以r）。

• 摘自Steven Strogatz |《推向极限》

这里我们有一个简单的想法，如果我们能计算出新形状的面积，那么我们就会知道圆的面积。但是，我们的新形状可能看起来更复杂，因此我们应该尝试使用更多切碎的碎片将圆更改为我们知道面积的形状。

我们可以试着用8个相等的部分组成这个圆，然后重新排列它们，得到下面这个平行四边形的更好的形式。如果我们仔细观察，我们会发现它正试图变成我们认识的形状。宽度越来越垂直，底部的扇形边缘越来越直。

• 如何显示一个圆的面积是2πr

因此，如果你直觉地接近这个想法，你会注意到我们可以用更小的部分来构建一个圆。例如，如果我们构建另一个有32段的圆并重复这个过程，我们会发现这个圆慢慢地开始看起来有点像一个矩形，这使得找到它的面积变得非常容易。

• 圆面积计算的视觉证明

现在我们可以得出结论，当我们把圆分成越来越多的小块时，形状就变成了长方形。如果你这样做无穷次，你会得到无穷多的碎片，形成一个完美的矩形。随着数量的增加，形状会变得更加精确。因此宽度的长度仍然πr，边的长度相当于圆的半径，仍然“r。

今天，在现代微积分中，我们把问题切成无数小块，然后把它们加在一起，就像阿基米德2200年前做的那样。换句话说，微积分就是让难题变得更容易处理。

虽然几乎所有关于微积分的教科书都有1000页，但微积分真正想要达到的是简单。

然而，切分问题并不是微积分的主要思想。我们不断地进行运算，不管是微分运算还是积分运算，这可能是有史以来最关键的数学技术。这两个概念都涉及到这样一种思想：我们可以做一些无限的事情来得到一个有限的答案。由于微积分是变化的数学，根据定义，微积分必须是连续的。连续性是微积分的本质。

积分就是求出水平轴上一条直线下的面积。例如，速度-时间图下的面积就是实际走过的距离。积分可以通过将面积分割成无限小的矩形，然后将矩形的所有面积相加得到曲线下的准确面积来实现。通过无限小矩形的极限，可以求出曲线下的精确面积。

微分是关于事物移动或变化的速度(变化率)。它被用来求速度曲线的切线。一条曲线可以看作是改变方向，运动可以看作是改变位置。

这两个概念都涉及到处理无限小或无限接近的事物。

有趣的是，在阿基米德被士兵杀死后，微积分的发展立即停止了，并停滞了1500多年。人类必须等到17世纪才能走得更远。微积分是在那个时代正式被发现的，它使数学家和工程师能够真正理解我们周围世界的运动和动态变化，比如行星的轨道和流体的运动。在微积分发明之后，科学革命正式开始了，这并非巧合。在这个时期，人们发现了许多伟大的数学思想、公式和证明。

17世纪30年代，德国数学家开普勒、意大利数学家卡瓦列里和伽利略分别改进了阿基米德的穷竭法，使其成为现代版本。这种技术被称为“无限分割法”。

• 上：伽利略伽利略|中：约翰内斯开普勒|下：博纳文图拉卡瓦列里

无限分割法的基本思想是通过画无穷多条平行线，得到无穷多个矩形，直到矩形的宽度不能再细分为止，从而确定任意图形的大小。之后，每个矩形的面积之和将等于开始时图形的大小。这种方法与积分法非常相似。

在卡瓦列里之后，包括勒内·笛卡尔、皮埃尔·德·费马、布莱斯·帕斯卡、艾萨克·牛顿和戈特弗里德·威廉·莱布尼茨在内的许多数学家开始研究微积分。这些数学家中没有一个人知道，他们即将创造历史上最不可思议的里程碑之一。然而，只有牛顿和莱布尼茨能够完成他们的工作并发表它。这两个天才通过向世界介绍微积分永远地改变了数学和科学。它还导致大学里平均多开设了20门数学课程。学生们现在接触到一个涉及数学的更加多样化的环境。

• 艾萨克·牛顿和戈特弗里德·威廉·莱布尼茨

在莱布尼茨和牛顿于17世纪发表了他们的发现之后，数学的力量得到了自希腊时代以来最显著的增长。值得庆幸的是，他们的原始著作记录了微积分的发现，至今仍保存在剑桥大学图书馆，我们有机会看到他们重新发现微积分的数学之旅。

• 数学宝藏：莱布尼兹关于微积分的论文

• 牛顿论文：《自然哲学的数学原理》|来源:剑桥大学数字图书馆

今天，当我们放下手机，开始谈论一些物理问题时，我们很可能会提到三位科学家的名字，爱因斯坦，费曼和牛顿。既然我们提到了牛顿，我们也必须谈谈莱布尼茨。然而，牛顿，当然还有莱布尼茨为未来的物理学家和数学家打开了大门。

一方面，牛顿想要解释哥白尼、开普勒和伽利略的天文系统，以描述引力是如何工作的。另一方面，莱布尼茨想把逻辑规则正式化，使数学推理系统化。他一生致力于使所有的推理过程机械化。牛顿和莱布尼茨在微积分的帮助下都取得了成功。

牛顿是那种什么都想知道的人。他想看到神秘事物背后的真相，并向世界各地的人们解释它们。

一个苹果从来没有落在牛顿的头上，但他想知道为什么月亮是站在天上，而不是下落。

在此之前，成千上万的人已经一次又一次地看到过天上的月亮，但只有牛顿问过为什么月亮不会落到地球上。这个问题对他来说是个转折点，也是全人类的转折点。它会促使他去发现许多他热衷的事情，在某种程度上，它甚至让他着迷。例如，当他痴迷于炼金术时，他对把铅变成金子不感兴趣。

他还痴迷于重力。当他意识到重力的存在时，他想要计算出在任何给定时间下落物体的速度。他知道，如果你让一个物体下落，它的速度会在每一刻增加，直到它落到地面。因此，物体在任何时刻都必须有一定的速度。他不知道有什么数学方法可以充分计算出这些瞬时速度。

因此，他需要提出某种动态数学系统来帮助解释他的万有引力情况。首先，他掌握了笛卡尔求切线的方法。然后，他意识到随着曲线的正割越来越小，斜率就变成了一个精确的点，我们可以在这一点画一条切线。在那一刻，他发现了一个非凡的数学概念，瞬时变化率，这就是我们今天看到的微分学。

当他发现自己最痴迷的东西时，他很高兴。他感到一阵自由。然而，有一天，天文学家埃德蒙·哈雷坐在椅子上喝着茶，特别问牛顿太阳是如何在不可见的情况下控制行星的。他花了好几年的时间来回答这个问题，但当他终于能够解释时，他第一次明确指出，引力是所有行星围绕太阳运行的力量。在那一刻，他完全理解了开普勒。

幸运的是，他在1687年出版的《自然哲学的数学原理》一书中把自己的笔记结合了起来。通过这本书，他将笛卡尔、伽利略、开普勒和哥白尼的工作统一为一个数学上的健全体系。这是自亚里士多德以来，欧洲的自然哲学家第一次有了一个单一的系统来理解事物是什么和怎样的。然而，要完全理解《原理》几乎是不可能的，因为数学太深奥了。他必须从几何学的角度来讨论微积分，因为以前没有人听说过微积分!他称自己的发现为“运动的数学”。在接下来的三个世纪里，他的书将主导科学界对宇宙的看法。

• 牛顿的《自然哲学原理》第一版的个人副本在剑桥大学图书馆展出。

你可以看出，牛顿发展了一个新的动态数学系统，微积分，以拥有他需要的工具来解决和解释物理问题。显然，微积分是随着代数的不足而出现的。在接下来的过程中，将会使用代数方法来求解事件的微分方程，从而得到快速发展。

莱布尼茨独立发现了微积分，今天，我们使用他的微积分。莱布尼茨的微积分方法是从形而上学的角度出发的，这就是为什么莱布尼茨的微积分是一个推理系统。他主要研究当代数学问题。当他发现无限个矩形的和的概念时，他顿悟了。他的感觉是，他刚刚发现了形成一个全新的数学体系的潜力，这个体系将来会被称为微积分。

1684年，莱布尼茨独立于艾萨克·牛顿发表了他的著作。数学家们能够很快理解微分和积分的概念，因为他还发明了一个强大而灵活的符号。莱布尼茨在历史上第一次用“积分的概念”来求函数曲线下的面积。在此过程中，他做了必要的记号，包括微分的“d”和积分的“long S - summa”。这就是为什么我们今天仍然使用莱布尼兹符号。

此外，莱布尼茨对“变化的概念”的描述与牛顿非常不同。对于莱布尼茨来说，变化是在一个称为无穷小的无限接近值序列范围内的差异。无穷小就是那些小的量，比如那些小矩形，没有任何方法可以测量它们。后来，数学家们把它描述为极限。

• 极限的定义

希腊数学家考虑的是无穷和极限。哲人芝诺曾说过，如果一个人要接近一堵墙的一半，他就不可能朝墙走去，也不可能碰到它。首先，它们要穿过半个房间，然后是半个房间，然后是半个房间，以此类推。因为这个剩余的距离可以被无限次分成两半，它们永远到不了那堵墙。

科学家和哲学家每周进行讨论，并从一开始就赞成牛顿，从而对牛顿和莱布尼兹的案子进行了不公平的辩论。牛顿是皇家学会的主席，但从来没有给莱布尼兹一个捍卫自己的机会。最终，牛顿被认为是第一个发现者。直到去世，莱布尼兹一直在努力证明自己是在没有查阅牛顿笔记的情况下发明微积分的。他从来没有真正得到过应得的荣誉，因此，莱布尼兹的英文著作仍然没有完整版！

我希望牛顿，这个已经发现了万有引力定律的人，能表现出善意，把微积分留给莱布尼茨，但他没有！



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